Прасолов А.В. Математические модели динамики в экономике
Санкт-Петербург, 2000
Предисловие 6
Глава 1. Прогнозные динамические модели 10
1.1.Введение. Основные определение теории моделирования. 10
1.1.1.Некоторые понятия теории математического моделирования 10
1.1.2. Понятие адекватности математической модели 16
1.1.3. Способы составления математических моделей 17
1.1.4. Экстраполяция 20
1.2. Анализ временных рядов 25
1.2.1.Набор скалярных данных 25
1.2.2. Характеристики модели временного ряда 27
1.2.3. Сглаживание временных рядов 32
1.2.4. Об интервале идентификации 35
1.3. Многомерные временные ряды 38
1.3.1. Задача о форвардных операциях 38
1.3.2. Авторегрессия при малых объемах информации 41
1.3.3. Авторегрессия при больших объемах данных 49
1.3.4. Об идентификации авторегрессионной модели с запаздыванием 55
1.3.5. Обсуждение критерия оптимальности 60
1.3.6. Модель равновесной цены по Менделееву 63
1.4. Управляемые процессы 70
1.4.1. Задача о распределении инвестиций. О бюджетных трансвертах 71
1.4.2. Восстановление линейной разностной системы. Специальный вход 77
1.4.3. Восстановление линейной разностной системы. Произвольный вход 84
1.5. Заключение 87
Глава 2. Модели Лотки-Вольтерра в экономике 88
2.1. Основные идеи, методы и результаты 89
2.1.1. Описание модели. 89
2.1.2. Цели исследования и техника анализа 91
2.2. Экономические интерпретации 93
2.2.1. Общие рассуждения 93
2.2.2. Конкуренция предприятий на общем рынке 95
2.2.3. Динамика иерархически связанных отраслей 98
2.2.4. Международная конкуренция 100
2.2.5. Кондратьевские волны 102
2.3. Последействие в экономических моделях. 105
2.3.1. Модель динамики цены в окрестности равновесной точки 105
2.3.2. Макроэкономические модели с запаздыванием 107
2.3.3. Изменение качественного поведения модели при увеличении запаздывания 110
2.4. Полный анализ взаимодействия экономических агентов 115
2.4.1. Стационарные точки модели 115
2.4.2. Конкурентная деятельность без запаздывания 118
2.4.3. Конкурентная деятельность с временным лагом 126
2.4.4. Взаимозависимая деятельность с последействием 137
2.4.5. Произвольное число участников рынка 143
2.5. Проблема идентификации системы 145
2.5.1. Идентификация модели без временного лага и без искажений информации 145
2.5.2. Идентификация модели без запаздывания и с ошибками в информации 148
2.5.3. Идентификация модели с запаздыванием 150
2.6. Заключение 152
Глава 3. Различные динамические модели 153
3.1. Прогнозирование цены форвордной сделки 154
3.1.1. Формулировка проблемы 154
3.1.2. Критерии качества методов прогноза 156
3.1.3. Обсуждение методов прогнозирования 158
3.1.3.1. Непосредственная аппроксимация временных рядов 158
3.1.3.2. Метод общей корреляции 164
3.1.4. Оптимизация длины интервала 170
3.1.5. Основные выводы из решения задачи 175
3.2. Задачи международной торговли 176
3.2.1. Некоторые формализации международной торговли 176
3.2.2. Об одном из возможных подходов к анализу протекционизма 178
3.3. Модель влияния рекламы на продажу нового товара 187
4. Приложение 1. Теория дифференциальных систем с последействием 190
4.1. Классификация, основные понятия и определения, теоремы существования и единственности для уравнений с запаздыванием 190
4.2. Линейные стационарные системы с запаздыванием 208
4.3. Свойства корней характеристического уравнения 212
4.4. Прямой метод Ляпунова для систем с последействием 219
4.5. Исследование устойчивости в случае динамических процессов с дискретным временем 246
4.6. О продолжимости решения задачи Коши для уравнения с бесконечным запаздыванием 252
4.7. Задача стабилизации для линейной стационарной системы с последействием 257
5. Приложение 2. Об оптимальном размере производства 266
6. Список цитируемой литературы 275
Предисловие.

Уважаемый читатель, перед Вами небольшая монография, относящаяся к моделированию динамических процессов в экономике. Это не учебник по экономике или математике, здесь нет общеизвестных и общепринятых разделов науки, поэтому чтение потребует некоторого напряжения. Если Вы готовы к нему, то, пожалуйста, относитесь снисходительно к недостаткам книги и попробуйте найти полезные для себя факты.

В настоящее время под математической моделью динамического процесса понимается такая зависимость между количественными характеристиками системы, которая позволяет делать прогноз поведения системы на ближайшее или отдаленное будущее. В экономике, как в науке о производстве, распределении и потреблении благ, прогнозирование и управление параметрами системы приводит к рациональному принятию решений на всех уровнях общества: правительство, регион, фирма, семья или человек. Поэтому развитие математического моделирования весьма актуально. Однако в отличие от инженерных наук в экономике еще слаба формальная логика, отсутствует четкая система предположений (как аксиоматический подход в математике), принятая большенством специалистов или подразумеваемая по умолчанию. Это приводит к уменьшению эффективности экономических исследований и сужению применимости результатов. Тем не менее предположив некоторую идеализацию, подобрав соответствующие абстракции динамика экономической системы может быть приближена математическими уравнениями, отражающими причинно-следственные связи.

В этой книге так или иначе затрагиваются следующие проблемы в экономике:

Часть из описанных проблем рассмотрена полностью, т.е. предложен алгоритм решения (а в некоторых случаях приведены и результаты моделирования), другие - лишь подвергнуты анализу или намечены пути составления модели. Это не принебрежение законченными формами, а следствие иной направленности автора. Все объясняется стремлением расширить инструментальные возможности теории математического моделирования динамических процессов. Условно можно выделить в теории линейную и нелинейную части. В первой, широко используемой в настоящее время, имеются некоторые слабые места, помимо самой линейности. К ним относятся неопределенность в выборе длины идентификационного интервала, разнообразие критериев оптимальности и, как следствие, невозможность считать одну модель лучше другой. Получается, что исследователь, предлагая модель динамики экономисту, говорит, что для данного набора наблюдений за динамикой исследуемого параметра, для класса линейных моделей и для заданного (как правило в том или ином смысле квадратичного) критерия качества модели, последняя является оптимальной. Экономисту же не хочется вдаваться в подробности, а почему собственно линейные и квадратичные, и какие нужны для исследователя данные, ему необходима надежная модель, с помощью которой он бы правильно принимал решения, т.е. критерий оптимальности должен быть задан конечной, прикладной целью моделирования. В книге обсуждаются эти и другие вопросы теории линейных моделей.

Но основная цель связана с желанием автора включить в систему инструментальных средств теории моделирования логистические уравнения с запаздыванием по времени. В биологии они известны, как уравнения Лотки-Вольтерра. Они давно привлекают к себе внимание, но без учета временного лага, а также без алгоритмов идентификации коэффициентов, их использование нельзя признать целесообразным. В книге показано, что применение моделей Лотки-Вольтерра вполне конструктивно, а динамическое разнообразие превосходит формы поведения траекторий линейных систем. Это касается более сложной структуры равновесного множества, колебательности и асимптотического поведения.

Временные лаги (задержки в реакции системы на изменение ситуации) в экономике также давно применяются в описании динамических проблем, но сложность математического аппарата теории уравнений с последействием не позволяет широко применять указанную теорию. Однако полностью игнорировать временные лаги было бы ошибкой. Поэтому в книге дан некоторый анализ зависимости экономических выводов по результатам математического моделирования от учета временных лагов. Приведены многочисленные примеры экономических ситуаций с оценкой времени запаздывания, рассмотрена конкурентная деятельность фирм с задержкой в реакции и, что самое интересное, дан алгоритм совместной идентификации параметров системы и запаздывания. В приложении к книге собраны многие (но не все) факты теории дифференциальных систем с последействием, но это, конечно, направлено скорее математику, чем экономисту. Часть материала публикуется впервые.

Структурно книга содержит три главы и два приложения. Первая глава посвящена анализу временных рядов в широком смысле. Обычно в таких задачах выделяют две составляющих временного ряда: детерминированную и случайную. В этой книге акцент делается на детерминированную часть зависимости, в то время как случайная составляющая оценивается каким-либо известным способом. Построение тренда временного ряда, как модели процесса, осуществляется тремя путями: непосредственной аппроксимацией, т.е. выбором из заданного класса функций представителя, наилучшим образом приближающего временной ряд, построение авторегрессионных моделей (а также с запаздыванием и с наличием интегральных многообразий) и построение моделей управляемых динамических процессов, т.е. когда модель строится по известному отклику системы на данное воздействие.

Вторая глава содержит описание, анализ и экономическую интерпретацию моделей типа Лотки-Вольтерра. Исследованию подвергнуты как простейшие (двумерные) системы, так и многомерные. Приведена зависимость модели от временной задержки. Исследованы качественные свойства решений. В частности, доказано существование предельных циклов, определены условия асимптотической устойчивости положений равновесия. Предложены новые алгоритмы идентификации моделей Лотки-Вольтерра, как без запаздывания так и с запаздыванием.

В третьей главе публикуются исследования трех моделей: прогнозирование курсов валют для заключения форвордных сделок, модель взаимодействия государства, импортера и контрабандиста в международной торговле и модель реакции продаж на изменение объема рекламы некоторого нового продукта. Если первая из перечисленных задач в полной мере использует результаты и рекомендации первой главы, то вторая и третья модели основываются в своем построении на экономических особенностях задачи, что придает им самостоятельное значение.

Первое приложение, как уже отмечалось, демонстрирует различные аспекты теории дифференциальных уравнений с последействием. Подробно приведены те теоремы и описаны те методы, на которые так или иначе опираются рассуждения основных глав книги. Материал дан с полными доказательствами, поскольку автору хотелось создать автономное произведение.

Второе приложение содержит описание известного способа определения оптимального с точки зрения затрат размера производства.

Список литературы содержит только фактические ссылки, показывающие происхождение того или иного результата. Номера формул, теорем, выводов и рисунков сквозные в каждой главе.

Огромную помощь в наборе книги оказали Полина и Юрий Антоновы. Автор выражает им свою признательность.
Вернуться на страницу "Новые книги" РУСИКОН